Números primos: método de redução para computação

Números primos

Método de redução para aplicação computacional em números primos

O método de redução a seguir proposto é uma consequência do crivo de Eratóstenes. Por meio do Crivo de Eratóstenes foi possível concluir que há um modo de reduzir números grandes por meio de números primos, na tentativa de encontrar os "vazios", ou por melhor dizer, os primos.

Do método:

Note que sempre cabem alguns números 3, 7, 11, 13 em qualquer centena. Escolhi esses números porque são primos e todos os ímpares são frutos de números primos.

Exemplo:

Na centena 2100 a 2200 cabem 33 números 3, fazendo uma PA se sabe quais são esses números pares e ímpares.

A PA ajuda a descobrir se há produtos repetidos como o 3 x 707 e 303 x 7 que tem como produto  2121.

A ideia é justamente o contrário do que se pensa, não é encontrar os números primos, mas encontrar todos os Ímpares para que se saiba quais são os únicos que não aparecem, os primos.

A fórmula:

N1 - N2         -ip + 50IP +PA -5D

—————  =  —

&3, 7, 11, 13     2

N1 e N2 são a centena em questão, exemplo (2200-2300)

& seria o sinal da somatória

ip

— É a separação dos pares para ímpares 

2   onde ip são os ímpares e pares

50IP É a metade dos ímpares na centena (50 ímpares para cada centena) e o IP são os "ímpares ou primos"(por isso em maiúsculo) ainda não testados.

-5D é a quantidade de números "5" de cada dezena. Se a PA encontrar um número hipotético de "5" nos produtos, essa quantidade será reduzida da quantidade não encontrada, exemplo:

Encontrei 5 números "5" na PA, logo, D equivalerá à 5D, pois cada centena possui 10 dezenas onde cabem 10 números "5", então eu faço uma subtração dos "5" descobertos com 10 já conhecidos, (-5) +10D = 5D.

Na prática:

Escolho a centena 800-900

800-900

——————

&11, 3, 7, 13

267-300 = -33ip

115 -128 = -13ip

73 -81 = -8ip

62 -69 = -7ip

&-33-13-7-8 = -61

                        — = -30,5 + 50IP -5D

                         2

14,5IP ainda não testados na centena 800-900

(Supondo que 5D seja -5) teremos 14 ou 15 Primos/ímpares ainda não testados. A PA dará a resposta exata de quem serão os primos ou impares.

Usando a PA:

Detalhe final: o método funciona melhor quanto mais números primos estiverem dividindo essa centena. Por exemplo, um número primo como o 17 tem um produto que só pode ser alcançado pelo fator 17 x P, 17 x 13 terá um produto que só poderá ser divisível por esses dois únicos fatores, 17 x 17 terá outro produto divisível apenas por esses dois fatores, ou seja, o produto de dois primos só pode ser dividido pelos dois primos que o formaram(com exceção do 1 e ele mesmo). Ou seja, quanto maior a centena em questão, mais números primos no cálculo trarão um resultado melhor e mais aproximado. Veja um exemplo do método com o uso da PA e de mais primos no cálculo:

      2100-2200               -ip

————————— =   — +50IP -5D +PA

&11, 13, 7, 3, 17, 19       2

700-733 = -33

300-314 = -14

191-200 = -9

162-169 = -7

124-129 = -5

111-115 = -4

Precisamos saber quem são os repetidos ou terminados em "5"

Irei considerar a PA apenas com os Ímpares( pois são os únicos considerados no problema):

PA de 3:

(2103, 2109, "2115", 2121, 2127, 2133, 2139, "2145", 2151, 2157, 2163, 2169, "2175", 2181, 2187, 2193, 2199)

PA do 7:

(2107, "2121", "2135", 2149, "2163", 2177, 2191)

PA do 11:

(2101, 2123, "2145", 2167, 2189)

PA do 13:

(2119, "2145", 2171, 2197)

PA de 17:

("2125", 2159, "2193")

PA do 19:

("2109", 2147, "2185")

agora, desconsiderando todos os repetidos temos de ímpar os seguintes números:

(2101, 2103, 2105, 2107, 2109, 2115, 2119, 2121, 2123, 2125, 2127, 2133, 2135, 2139, 2145, 2147, 2149, 2151, 2155, 2157, 2159, 2163, 2165, 2167, 2169, 2171, 2175, 2177, 2181, 2185, 2187, 2191, 2193, 2195, 2197, 2199)

agora nós temos -36 ímpares para somar

Ignoramos -ip   ,  já que conseguimos 

                   —     substituir os pares

                   2      Dos ímpares

E nesse caso ainda, como já temos todos os números "5" encontrados, podemos substituir 5D por 0

temos então como ímpares/primos não testados:

-36+ 50IP -5D

14IP -5.0

14IP

São eles os não encontrados nas PA's:

2111, 2113, 2117, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2173, 2179, 2183, 2189

Esses são os possíveis ímpares/primos, obviamente que se usássemos mais primos na divisão da centena, nós teríamos o resultado exato de quem são os primos

Aplicação computacional

Por fim, fazer essa progressão aritmética seria um tanto complexo e demorado, nesse caso entra em cena a computação. Os processadores dos computadores e todos os componentes da máquina podem tornar o cálculo desta PA muito mais simples e rápido, sendo a fórmula apenas um método secundário e didático para possíveis alterações. A fórmula apesar de ser importante, para um computador, a mesma pode ser mais útil utilizando grandes quantidades de primos, pois a fórmula traz resultados mais eficientes e precisos justamente enquanto houver maiores quantidades de divisores. Concluindo, o método da PA e a fórmula podem ambos serem muito úteis na procura de novos primos em conjunto.

Consideração final

Apesar da fórmula não ser um divisor de águas, não ser uma forma absoluta que encontre qualquer primo em qualquer distância numérica, espero que possa ser útil no cálculo computacional por engenheiros ou entusiastas. Agradeço a leitura do artigo, deixarei as bibliografias logo a seguir. Caso queira entrar em contato comigo: nicksongrimes33@gmail.com

Estou no Instagram também, basta procurar pelo meu nome e será de fácil achado. Até breve.

Bibliografia:

método do crivo de Eratóstenes (acessado em maio de 2021) 

https://www.atractor.pt/mat/crivo/crivo.html#:~:text=O%20Crivo%20de%20Erat%C3%B3stenes%20%C3%A9,subst%C3%A2ncias%20de%20dimens%C3%B5es%20mais%20reduzidas

método da PA (acessado em maio de 2021)

https://www.todamateria.com.br/progressao-aritmetica/

Autor: Nickson Grimes