Teorema de Stevin – Contextualização e Compreensão da Lei Fundamental da Hidrostática

Até o final do século XVI um paradoxo assombrava os cientistas, especialmente os Físicos em seus estudos de hidrostática, tal paradoxo se dava da seguinte maneira:

Como um líquido distribuído em diversos vasos comunicantes de diferentes formatos, diâmetros e volumes pode alcançar o repouso com a mesma altura em todos os vasos?

Tal questão é paradoxal ao pensamento científico da época, uma vez que não se compreendia como um mesmo líquido alocado em um vaso de amplo diâmetro ligado a um vaso de curto diâmetro poderia alcançar o equilíbrio de forças com uma mesma altura em ambos os vasos, visto que o volume de líquido no vaso de maior diâmetro era maior que o volume de líquido no vaso de menor diâmetro, sendo a altura atingida encontrada pelo fluido a mesma nos dois vasos comunicados.

Desta maneira, a questão em pauta para os estudiosos da hidrostática no final do século XVI era, especificamente: como o fluido pode se estabilizar com uma mesma altura entre dois vasos de espessuras distintas? Aprofundando a questão temos: como o líquido do vaso de menor diâmetro (menos volume, menos massa) pode exercer, no nível da comunicação entre os vasos, a mesma pressão do líquido do vaso de maior diâmetro (mais volume, mais massa)? Enfim, identificamos a variável com a qual devemos trabalhar, isto é, com a qual os cientistas tiveram de tratar para solucionar tal problema, a Pressão em Líquidos.

Simon Stevin, louvável Físico e Matemático que pesquisou e publicou de meados do século XVI ao início do século XVII, debruçou-se sobre tal problemática paradoxal da hidrostática, conseguindo solucionar o paradoxo. Vejamos por meio de um processo físico-matemático o raciocínio que nos leva à conclusão de Stevin e como ela nos elucidará em relação a Pressão em Líquidos que, por sua vez, nos fará solucionar o paradoxo:

Primeiramente, o que buscamos? A pressão em determinado ponto do líquido. Pressão é definida como uma força aplicada/distribuída sobre uma área:

Força, por sua vez, é dada pela relação entre massa e aceleração , logo:

Quando trabalhamos com fluidos, a grandeza a ser considerada não é (na maioria dos casos) a massa total por si só, na verdade, é a densidade do fluido. Densidade é a medida do grau de concentração de massa em um volume e, assim, apresenta-se matematicamente como o quociente entre massa e volume:

Logo, para substituirmos a massa na fórmula da pressão, trabalharemos a equação acima ficando com a seguinte configuração:

Agora é possível substituir na fórmula o termo ‘’ (massa) por seu equivalente ‘’ (densidade multiplicada pelo volume). Assim, montamos:

Os líquidos têm como propriedade tomar a forma do recipiente que o comporta sem alterar seu volume total, logo, considerando o recipiente como um sólido geométrico cilíndrico oco (desconsiderando também a espessura de sua parede), podemos calcular o volume como:

Sendo ‘’ o raio do recipiente e ‘’ a altura na qual o líquido encontrou o repouso. Para que as propriedades do líquido citadas no parágrafo anterior sejam obedecidas, isto é, adequar-se ao formato do recipiente, o raio tem de ser definido pelo recipiente, porém, sem alterar seu volume total, logo, a altura é encontrada pela equalização de pressão no próprio líquido, uma vez que não se expande para preencher todo o recipiente, como faria um fluido gasoso.

Abrindo o termo ‘’ (volume) em nossa fórmula, como explanado acima, ficamos com:

É necessário agora identificar que ‘’ é nada mais que a área da base do sólido geométrico cilíndrico e, assim sendo, podemos simplificar a expressão de nossa fórmula para:

Observe que o termo ‘’ (área da base) é presente tanto no dividendo quanto no divisor e, assim, pode ser cancelado em ambos, uma vez que, todo número dividido por si mesmo resulta em quociente 1 e resto zero, ou seja: ; sendo redundante multiplicar a fórmula por este 1, ficamos com a seguinte expressão da fórmula:

Porém, devemos refletir: se o líquido está em repouso, que aceleração é esta que aparece na fórmula desde de seus primórdios pelo conceito de força ? Neste caso específico, estamos falando da aceleração gravitacional. Assim, especifiquemos a aceleração como aceleração gravitacional:

Observe que, se estamos procurando a pressão em determinado ponto, do líquido, devemos refletir sobre o que exerce sobre tal ponto uma pressão, sendo a resposta para tal reflexão: a força peso da coluna de água acima do ponto. Como estamos tratando de um fluido, fazemos a adaptação da massa para a densidade e encontramos, ao invés do Peso simples, o Peso Específico de tal líquido. Desta maneira, sendo o módulo da força peso calculado por                  ‘’ (massa multiplicada pela aceleração gravitacional), teremos o Peso Específico dado por ‘’ (densidade multiplicada pela aceleração gravitacional).

Agora podemos substituir ‘’ (densidade multiplicada pela aceleração gravitacional), na fórmula, pelo conceito de sua combinação, o Peso Específico, representado pela letra grega gama . Por fim, alcançamos:

Como pode ver, nosso raciocínio físico-matemático nos levou a concluir que, para um fluido ideal, a pressão em determinado ponto do fluido não depende de seu formato, mas, sim, de seu peso específico e da altura da coluna de líquido acima de tal ponto, ou, simplesmente, da profundidade. É necessário compreender que, até aqui, encontramos a fórmula da Pressão Hidrostática, sendo tal conceito e fórmula o instrumento para solucionar nosso paradoxo e o fundamento para conhecer a Lei de Stevin.

Para, enfim, solucionar formalmente o paradoxo apresentado no início deste artigo, é interessante, por meio da fórmula alcançada, demonstrarmos matematicamente o porquê de a pressão ser a mesma no nível da comunicação entre os vasos de diferentes diâmetros. Assim, vamos comparar a pressão em dois pontos (ponto A e ponto B), um ao lado do outro no eixo horizontal:

Se estamos falando de um fluido ideal então estamos assumindo que sua densidade é a mesma ao longo de toda sua composição e, indo além, considerando uma mesma aceleração gravitacional média para todo o sistema de fluido em analise, podemos concluir que, em nossa equação o ‘ (Peso Específico) tem exatamente o mesmo valor, tanto para o ponto A quanto para o ponto B, ou seja: ; Assim, simplificando a expressão para um mesmo ‘’ alcançamos:

Com tal configuração da equação podemos cancelar em ambos os lados o termo ‘’. Chegando assim a conclusão de que a altura da coluna de líquido (profundidade) acima de dois pontos específicos de um mesmo líquido ideal deve ser a mesma para que eles tenham a mesma pressão. Ou seja, dois pontos lado a lado horizontalmente tem a mesma pressão pois a sua profundidade é a mesma, não importando o formato do recipiente ou seu volume.

Por fim, tendo conhecimento que a diferença da altura da coluna de líquido acima dos pontos é transferida integralmente ao módulo de sua pressão, podemos vislumbrar como Stevin enunciou sua lei, isto é, embasado não na pressão do ponto específico mas na diferença entre dois:

"A diferença entre as pressões de dois pontos de um fluido em equilíbrio é igual ao produto entre a densidade do fluido, a aceleração da gravidade e a diferença entre as profundidades dos pontos."

Ou, em linguagem matemática:

Referências Bibliográficas:

HEWITT, Paul. Fundamentos de Física Conceitual. Cap.: Mecânica dos Fluidos. 1ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2009.

SILVEIRA, F; MEDEIROS, A. O Paradoxo Hidrostático de Galileu e a Lei de Arquimedes. Caderno Brasileiro de Ensino de Física. Volume 26. Nº 2. 2009

The Editors of Encyclopaedia Britannica - Simon Stevin: Flemish Mathematician – Disponível em: . Acessado em: 13 de setembro de 2018